Genişletme çabası mantıksal kategorileri altına alamayan simgelerle yapıldığında özellikle ilgi çekicidir. Hilbert aritmetiği formelleştirirken “a” ile “a sayısının ardılı” üzerinde durur. “a” yı gösteren simge ne bir birey (tek) ne bir sınıf ne de bir ilişkiyi gösterir v.b.

Ama dikkat edelim: Formelleştirilmiş bir sistem hiç de her zaman zorunlu olarak bir mantıksal uzanımda olmayabilir. Ama bu yüzden örneğin formelleştirilmiş bir matematiksel sistemin postulatlarını zorunlu olarak bir bölümünü mantıksal postulatlar öbür bölümünü de sisteme özgü postulatlar olarak iki diziye bölmek gerekmez. İlk dizi yetkin olmayabilirse de her iki diziyi birbirlerinden ayırmaya hiç de gereksinme duymayabiliriz.

Böylece mantıkçılar adım adım şuna vardılar: Onlar artık salt mantık olarak gösterilebilecek a priori bir sistemle fazla ilgilenmiyorlar. Tersine onları ilgilendiren artık tüm formelleştirilmiş sistemlerde salt bir mantığın olmadığını görmek başka bir deyişle bu sistemlerin salt bir mantığa indirgenemeyeceğini saptamaktır. Böylece bize mantıksal ya da matematiksel olarak görünen tüm formelleştirilmiş sistemler üzerine bir meta-kuramsal inançlar sorunu ortaya çıkmış oldu.