Leibniz kendi mantıksal kalkülü ile tüm bilimleri dedüksiyon ile doğrulayabileceğini düşlemişti. Buna karşı biz şunu yinelemek zorundayız; Doğabilimlerinin formelleştirilmesi bugüne kadar gerçekleştirilememiştir. Gerçi klasik mantığın ustalarının çabalarını matematiğin formelleştirilmesine yönelttiklerini görürüz. Russell ve Whitehead’ın büyük yapıtlarının adı da zaten bunu (Principia Mathematica) gösterir

Üç ciltlik yapıtın ilk iki cildi tamsayılar göreli sayılar ve düzen sayıları kuramının tipsel bir formelleştirmesidir ve bu çabaya daha Frege ’nin “Aritmetiğin Temelleri” (1895) adlı önemli yapıtında da rastlarız

a) Bu yapıtlarda sadece matematik kavramları formüle edilmez tersine matematiksel kavramlar mantıksal kavramlara geri götürülür

Aynı şey sonsuzluk (ıransfinite) ve sonluluk (finite) konusunda da yapılır Matematiksel kavramların indirgenmek istendiği mantıksal kavramlar çok karmaşıktırlar. Biz bir sayma sayısını (kardinal sayı) sınıfların sınıfı olarak kabul etmişizdir. Bir göreli sayı ise bir işaretler sınıfıdır. Ama bunları yapabilmek için önce özel aksiyomlara başvurma gereği vardır.

b) İşte burada temel güçlüklere çarpılır. “Principia Mathematica”dan önce Frege bazı postulatlardaki çelişkilere işaret etmişti. Bu çelişkilerin ilk türü olarak yalancı paradoksu yeniden gündeme getirilmişti: “Ben yalan söylüyorum” ya da “şimdi yazdığım tümce yanlıştır” savları sağlam ve somut bir yapıya sahip görünürler ama buna rağmen içlerinde bir çelişki taşırlar.

İkinci tarz paradoksları Russell’a borçluyuz. Biz “k” yı kendinden başka elemanı olmayan bir sınıfın özelliği sayarsak “herhangi x için: x bir k’dır” önermesi tanımı gereği “x bir x değildir” önermesi ile eşanlamlı olur. Biz özel bir durum olarak x k olduğunu düşünürsek “k bir k’dır” ‘e “k bir k değildir” önermelerinin ikisi de geçerli olur ki burada açık bir çelişki vardır.

Buna dayanılarak bu çelişkilere paradokslar denmesi adet olmuştur. Gerçekte burada antinomiler söz konusudur. Antinomiler ait oldukları sistemleri çelişkili kılarlar. Okuyucu bu türden antinomilere bakarak bunları sofizmal (safsata) sayabilir ve insanın sağlıklı sezgisel anlayışının bunları yadsıyacağını söyleyebilir. Ne var ki sağlıklı sezgisel anlayışının teknik güçlüklerin üstesinden gelemediği anlaşılmıştır. Öbür yandan okuyucu bu paradoksların pratik hayat için önem taşımadıklarını da söyleyebilir. Ama formelleştirilmiş mantık kuramcısı için bu paradokslar kendi formelleştirme çabaları için ciddi tehlikelerdir. Bu paradokslar bize düşünsel işlemlerimizde kullandığımız kavram ve kavram guruplarının kurulmasında belli sınırlara gelip dayandığımızı göstermiştir ki bunlara dikkat etmeden yapamayız.

c) Russell’ın “tipler” kuramı paradoksların yarattığı güçlüklerin giderilmesi için yeterli bir çözüm sunmaktadır. Basitçe ele alındığında bu tipler birinci türden paradoksları (yalancı paradoksu v.b.) semantik yoldan aşmaktadırlar. Bunları 4.B’de ele alacağız.
İkinci türden paradoksları aşmak için çeşitli mantıksal tipler ya da kategoriler ortaya konmuştur. Örneğin bireyler (tekler) sınıflar ve sınıfların sınıfları gibi. Her özne ya da yüklem belirli bir mantıksal tipe aittir ve yüklem de daima aracısız olarak özneye göre düzenlenmiş bir tiptir. (Yalnız burada ilişkiler mantığına ait bir durumdan sözedilmediğini belirtelim). Bu nedenle “x bir k’dır” örneğinde x bir sınıf ise k sınıfların sınıfı olur.

Buna göre artık “k bir k’dır” türüden ifadelere başvurulmaz. Öyleyse çelişki tipler kuramıyla aşılmış olmaktadır. Tiplerin benimsenmesi akla uygun görünmektedir. Ama bu tipler kalkülü iyice karmaşık hale de sokmaktadır. Bu yüzden bu tipleri çeşidi yollardan basitleştirme denemelerine başvurulmuştur (diziler kuramı Quine’ın ‘stratifikation” ve Lesnievski’nin “mereoroloji” kuramları gibi)